Sollte die Aktie bis zum Fälligkeitstag unter 100 fallen, so verfällt zwar die Option wertlos, aber man kann die Aktie dann billiger zurückkaufen und zurückgeben. Man hat also einen Gewinn von mindestens 20 gemacht. Sollte die Aktie aber weiter steigen, so übt man am Verfallstag einfach die Option aus, kauft die Aktie für 100 und gibt sie zurück. genau die Differenz zwischen Ausübungspreis und Aktienkurs zum Zeitpunkt des Bewertungsstichtages.
dieser Fakt ist der wichtigste bei der Bewertung von Optionen. Auch diese Tatsache ist recht einfach zu erklären: Schwankt der Kurs des Underlyings stärker so ist die zukünftige Kursentwicklung unklarer und die Gewinnchancen am Fälligkeitstag steigen. man könnte zwar eventuell viel gewinnen, aber auch sehr viel verlieren.
muss sich diese Tatsache ebenfalls in der Bewertung der Option widerspiegeln. Option auf eine Aktie X mit Strike 100 und Restlaufzeit in diesem Beispiel von einem Jahr. Option auf Aktie Y, ebenfalls mit Strike 100 und mit der selben Restlaufzeit ebenfalls von einem Jahr. stehen, oder irgendwo dazwischen.
stehen oder irgendwo dazwischen. Im besten Fall könnte man also bei der ersten Option am Verfallstag einen Wert von 50 realisieren, bei der zweiten Option nur einen Wert von 15. Der Einfluss der Volatilität auf den Wert einer Option ist also sehr hoch. Preis für das Underlying bis zur Fälligkeit. Diese Aussage ist am schwierigsten zu verstehen bzw.
Aktie X steht derzeit bei 120. Wenn man nun eine Aktie kaufen möchte, muss man 120 investieren. Option nur etwas über 20. Käufer, nimmt aber genauso an Kursgewinnen teil wie ein Besitzer der Aktie.
In unserem Beispiel sieht man, dass der Optionskäufer um fast 100 weniger an Kapital aufbringen musste als der Aktienkäufer. muss er diese Zinsen auch mit dem Optionspreis bezahlen. Auf der anderen Seite kann es sein, dass ein Unternehmen noch vor Fälligkeit der Option Dividenden ausschüttet, die höher sind als die Zinsen die für die Finanzierung des Aktienkaufs zu zahlen wären. Diese Dividenden bekommt natürlich ein Optionsbesitzer nicht, da er die Aktie ja erst am Fälligkeitstag erwerben kann, und erst ab dann Anrecht auf Dividendenzahlungen hat. von dem Wert der Option wieder abgezogen. abzüglich der erwarteten Dividenden.
sind relativ leicht zu bestimmen und lassen auch nicht viel Betrachtungsspielraum zu. Einzig bei den Zinsen und den erwarteten Dividenden kann es eventuell Ungewissheiten geben, aber die sind bei weitem nicht so groß wie der Hauptfaktor, der die Optionsprämie am meisten beeinflusst: Die implizite Volatilität. Flüssigkeiten oder Gasen bedingt durch Abstoßungsreaktionen auf andere Teilchen beobachtet werden können. Voraussetzung für die Richtigkeit dieser Formel ist die Annahme, dass Kursschwankungen der Finanzmärkte sich völlig zufällig und normalverteilt bewegen.
Normalverteilt bedeutet, dass die einzelnen Kursschwankungen einer Gaußschen Glockenkurve entsprechen. ein Jahr mit etwa 260 Handelstagen so wird an den meisten Tagen die Schwankung eher geringer ausfallen. An einigen wenigen Tagen gibt es stärkere Schwankungen. Normalverteilung begegnet man beispielsweise, wenn man eine Gruppe von Menschen auf ihre Größe untersucht. Die meisten werden eine Durchschnittsgrösse haben bzw.
etwa größer oder etwas kleiner als der Durchschnitt sein. Eine wenige werden extrem klein sein und ebenfalls wenige werden extrem groß. Achse für die Anzahl der Menschen mit dieser Größe, so erhält man eine Glockenkurve die der Normalverteilung entspricht. Die Größe der meisten Menschen weicht also nicht sehr stark vom Durchschnitt ab. Je größer die Abweichung vom Durchschnitt, umso weniger Menschen mit ensprechender Größe gibt es. sie sind am Rand der Glockenkurve zu finden. Die Durchschnittsgröße der Menschen entspricht dem sogenannten Erwartungswert. Nun haben aber natürlich nicht alle Menschen Durchschnittsgröße.
Die meisten sind ein wenig größer oder ein wenig kleiner als der Durchschnitt. so bekommt man die Standardabweichung. Die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert nennt man also Standardabweichung. Menschen auf Ihre Größe und ermittelt als Durchschnittsgröße dieser Menschen 165cm so sind diese 165cm der Erwartungswert.
Der durchschnittliche Abstand zum Erwartungswert ist dann die Standardabweichung. Nehmen wir eine Standardabweichung von 20cm in diesem Beispiel, würde das bedeuten, dass die 200 Menschen im Durchschnitt zwischen 145cm und 185cm gross sind. Ich habe grau den Bereich zwischen einer Standardabweichung hervorgehoben. bis 1 integriert, also die Fläche darunter ausgerechnet und hervorgehoben. unter dieser Kurve abgebildet sind. innerhalb von einer Standardabweichung liegen.
aller Ereignisse innerhalb der Kurve. Nur noch jedes ca. die sich innerhalb des Bereiches befinden und nur noch jedes 370te Ereignis ist außerhalb. Millionste Ereignis ist außerhalb. Millionste Ereignis ist außerhalb. Jahre ein derartiger Event eintreten.
Das ist bereits ein erster Hinweis dafür, dass die Normalverteilung nicht einfach auf Finanzmärkte angewandt werden kann. Wir betrachten jeden einzelnen Handelstag im letzten Jahr und schauen wie viel die Aktie sich an diesem jeweiligen einen Tag bewegt hat. zusammen und zählen sie ab. gab es nur ein einziges Mal. Wir sehen deutlich eine Häufung in der Mitte die nach links und rechts jeweils nachlässt. Es besteht also eine gewisse Ähnlichkeit mit der Gaußschen Glockenkurve die die Häufigkeit bei einer Normalverteilung beschreibt. Bei der Normalverteilung streuen sich alle anderen Ereignisse symetrisch um diesen Erwartungswert.
Ihre Häufigkeit nimmt mit der Entfernung zum Erwartungswert stetig ab. Die durchschnittliche Entfernung zum Erwartungswert ist die Standardabweichung. Die Standardabweichung ist im Prinzip das was wir in den Finanzmärkten Volatilität nennen. Das geht indem man die Standardabweichung mit der Wurzel aus der Anzahl der Handelstage multipliziert. Hierbei handelt es sich um die sogenannte historische Volatilität, da ja die Vergangenheit untersucht wird. eine Standardabweichung Abstand vom Erwartungswert bzw. an einem Tag bewegt haben.
Also nur einmal in etwa 15. außerhalb dieser Bandbreite liegen. Das wäre etwa alle 61 Jahre einmal an einem Tag der Fall. die Kursschwankungen an den Finanzmärkten nicht hinreichend durch die Normalverteilung erklärbar sind. Auf den ersten Blick schaut das auch ein wenig nach Glockenkurve und Normalverteilung aus. Die Wahrscheinlichkeit, daß das eintritt liegt bei etwa 1 zu 100 Milliarden.
Es sollte also nur etwa alle 384 Millionen Jahre passieren. Also jedenfalls nicht ein einziges Mal seit Menschengedenken. Vor 384 Millionen Jahren bevölkerten noch Einzeller die Erde. Scholes Formel war es eben diese Normalverteilung auf die Finanzmärkte anzuwenden. Die Annahme war, dass sich die Kursschwankungen an den Börsen zufällig und nach den Regeln der Normalverteilung verhalten.
geschafft diese ungewissen Schwankungen des Marktes auf eine Formel zu reduzieren. Ich verzichte hier darauf, die Formel zu veröffentlichen, da eine genaue Herleitung sowieso den Rahmen des Artikels sprengen würde. Wer sich interessiert kann hier auf wikipedia nachlesen. Welche Probleme sich daraus ergeben können, habe ich bereits in obigen Beispielen gezeigt.
Das blinde Vertrauen auf diese Formel kann verheerende Wirkungen haben. Bei den Anlagestrategien dieses Fonds wurde die neue Formel oft angewandt. Auf der einen Seite wurden Optionen die aufgrund dieser Formel zu teuer erschienen einfach verkauft, auf der anderen Seite wurden Volatilitätserwartungen bei bestimmten Märkten aufgrund dieser Formel berechnet und entsprechende Risiken eingegangen. Dollar an Assets, dabei waren auch viele Derivate und Optionen.
Milliarden USD, was einem Hebel von fast 600 entspricht bzw. nur einmal in Milliarden von Jahren passieren hätten dürfen. Also quasi seitdem das Universum existiert, hätten solche Kurssausschläge nie stattfinden dürfen. Doch daran hielten sich die Finanzmärkte nicht: Asienkrise, Russlandkrise etc. bescherten den Märkten im Jahr 1998 eben genau diese Volatilität mit der mathematisch nicht gerechnet werden konnte, und so musste der Fonds LTCM von der amerikanischen Zentralbank FED und 11 weiteren großen Investmentbanken gerettet werden um noch stärkere Verwerfungen an den Finanzmärkten zu verhindern.
Die FED musste dafür sogar den Leitzinssatz senken. Details kann man auch hier unter wikipedia nachlesen. Der wahre Wert einer Option bleibt also weiter im Dunkeln bzw. dem Gefühl und der Risikobereitschaft des Optionshändlers überlassen. Die Märkte agieren meiner Ansicht nach sicher NICHT nach Regeln die der gaußschen Normalverteilung entsprechen.
auszurechnen, also die Erwartungen des Marktes was die Kursschwankungen angeht. Dadurch bekommt man ein Gefühl dafür, ob eine Option teuer oder billig ist. Volatilität von Optionen messen. Ich habe ihn im Financeblog schon öfters erwähnt. Man muss diese Formel auch nicht selbst händisch anwenden, wenn man mit Optionen handeln möchte, da die Handelssysteme das schon automatisch erledigen.